Mathematical formulation of quantum mechanics

 क्वांटम यांत्रिकी के गणितीय सूत्र वे गणितीय औपचारिकताएँ हैं जो क्वांटम यांत्रिकी के कठोर विवरण की अनुमति देते हैं। यह गणितीय औपचारिकता मुख्य रूप से कार्यात्मक विश्लेषण के एक हिस्से का उपयोग करती है, विशेष रूप से हिल्बर्ट अंतरिक्ष जो एक प्रकार का रैखिक स्थान है। इस तरह की गणितीय औपचारिकताओं से 1900 के दशक की शुरुआत में अमूर्त गणितीय संरचनाओं, जैसे कि अनंत-आयामी हिल्बर्ट रिक्त स्थान (मुख्य रूप से L2 स्थान), और इन रिक्त स्थान पर ऑपरेटरों के उपयोग से विकसित भौतिकी सिद्धांतों के लिए गणितीय औपचारिकताओं से अलग हैं। संक्षेप में, भौतिक वेधशालाओं जैसे ऊर्जा और संवेग के मूल्यों को अब चरण स्थान पर कार्यों के मूल्यों के रूप में नहीं माना जाता था, बल्कि eigenvalues ​​​​के रूप में माना जाता था; अधिक सटीक रूप से हिल्बर्ट अंतरिक्ष में रैखिक ऑपरेटरों के वर्णक्रमीय मूल्यों के रूप मे।

रैखिक बीजगणित में, एक रेखीय परिवर्तन का एक eigenvector या विशेषता वेक्टर एक गैर-शून्य वेक्टर होता है जो एक स्केलर कारक द्वारा सबसे अधिक बदलता है जब उस रैखिक परिवर्तन को उस पर लागू किया जाता है। संगत eigenvalue, जिसे अक्सर \lambda द्वारा दर्शाया जाता है, वह कारक है जिसके द्वारा eigenvector को बढ़ाया जाता है।

क्वांटम यांत्रिकी के इन सूत्रों का उपयोग आज भी जारी है। विवरण के केंद्र में क्वांटम अवस्था और क्वांटम वेधशालाओं के विचार हैं जो भौतिक वास्तविकता के पिछले मॉडल में उपयोग किए गए लोगों से मौलिक रूप से भिन्न हैं। जबकि गणित कई मात्राओं की गणना की अनुमति देता है जिन्हें प्रयोगात्मक रूप से मापा जा सकता है, मूल्यों की एक निश्चित सैद्धांतिक सीमा होती है जिसे एक साथ मापा जा सकता है। इस सीमा को पहली बार हाइजेनबर्ग द्वारा एक विचार प्रयोग के माध्यम से स्पष्ट किया गया था, और क्वांटम वेधशालाओं का प्रतिनिधित्व करने वाले ऑपरेटरों की गैर-कम्यूटेटिविटी द्वारा नई औपचारिकता में गणितीय रूप से दर्शाया गया है।

एक अलग सिद्धांत के रूप में क्वांटम यांत्रिकी के विकास से पहले, भौतिकी में प्रयुक्त गणित में मुख्य रूप से औपचारिक गणितीय विश्लेषण शामिल था, जो कि कलन से शुरू होता है, और जटिलता में अंतर ज्यामिति और आंशिक अंतर समीकरणों तक बढ़ता है। सांख्यिकीय यांत्रिकी में संभाव्यता सिद्धांत का उपयोग किया गया था।पहले दो में ज्यामितीय अंतर्ज्ञान ने एक मजबूत भूमिका निभाई और, तदनुसार, सापेक्षता के सिद्धांत पूरी तरह से अंतर ज्यामितीय अवधारणाओं के संदर्भ में तैयार किए गए थे।क्वांटम भौतिकी की घटना विज्ञान लगभग १८९५ और १९१५ के बीच उत्पन्न हुआ, और क्वांटम सिद्धांत (लगभग १९२५) के विकास से पहले १० से १५ वर्षों तक भौतिकविदों ने क्वांटम सिद्धांत के बारे में सोचना जारी रखा, जिसे अब शास्त्रीय भौतिकी कहा जाता हैऔर विशेष रूप से समान गणितीय संरचनाओं के भीतर।इसका सबसे परिष्कृत उदाहरण  Sommerfeld–Wilson–Ishiwara quantization नियम है, जो पूरी तरह से शास्त्रीय चरण स्थान पर तैयार किया गया था।

                             Published by

                                          Mihir Manas Mishra