स्वतंत्रता की स्थिति डिग्री के साथ क्वांटम प्रणाली का सबसे सरल उदाहरण एकल स्थानिक आयाम में एक मुक्त कण है। एक मुक्त कण वह है जो बाहरी प्रभावों के अधीन नहीं है, ताकि उसके हैमिल्टन में केवल इसकी गतिज ऊर्जा हो: The general solution of the Schrödinger equation on is given by जो सभी संभावित समतल तरंगों का अध्यारोपण है जो संवेग के साथ संवेग संचालिका के प्रतिरूप हैhhsbnttetynbnwk </
क्वांटम यांत्रिकी के गणितीय सूत्र वे गणितीय औपचारिकताएँ हैं जो क्वांटम यांत्रिकी के कठोर विवरण की अनुमति देते हैं। यह गणितीय औपचारिकता मुख्य रूप से कार्यात्मक विश्लेषण के एक हिस्से का उपयोग करती है, विशेष रूप से हिल्बर्ट अंतरिक्ष जो एक प्रकार का रैखिक स्थान है। इस तरह की गणितीय औपचारिकताओं से 1900 के दशक की शुरुआत में अमूर्त गणितीय संरचनाओं, जैसे कि अनंत-आयामी हिल्बर्ट रिक्त स्थान (मुख्य रूप से L2 स्थान), और इन रिक्त स्थान पर ऑपरेटरों के उपयोग से विकसित भौतिकी सिद्धांतों के लिए गणितीय औपचारिकताओं से अलग हैं। संक्षेप में, भौतिक वेधशालाओं जैसे ऊर्जा और संवेग के मूल्यों को अब चरण स्थान पर कार्यों के मूल्यों के रूप में नहीं माना जाता था, बल्कि eigenvalues के रूप में माना जाता था; अधिक सटीक रूप से हिल्बर्ट अंतरिक्ष में रैखिक ऑपरेटरों के वर्णक्रमीय मूल्यों के रूप मे। रैखिक बीजगणित में, एक रेखीय परिवर्तन का एक eigenvector या विशेषता वेक्टर एक गैर-शून्य वेक्टर होता है जो एक स्केलर कारक द्वारा सबसे अधिक बदलता है जब उस रैखिक परिवर्तन को उस पर लागू किया जाता है। संगत eigenvalue, जिसे अक्...